已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-
ax
x+1
（a＞0）．
（1）實數(shù)a為何值時，使得f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
（2）證明：（
2013
2014
）2014＜
1
e
．
考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，要使得f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，只需當(dāng)x＞0時，f′（x）≥0恒成立，即可求出實數(shù)a的值；
（2）要證明：（
2013
2014
）2014＜
1
e
，只需證明(
2014
2013
)2014＞e，兩邊取自然對數(shù)，由（1）知f（x）=ln（1+x）-
x
x+1
在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，即可得出結(jié)論．
解答： （1）解：因為f（x）=ln（1+x）-
ax
x+1
（a＞0），
所以f′（x）=
x+1-a
(x+1)2

由題知，要使得f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，只需當(dāng)x＞0時，f′（x）≥0恒成立
即x+1-a≥0當(dāng)x＞0時恒成立，則a≤1，
又因a＞0，
所以a的取值范圍為（0，1]．…（6分）
（2）證明：要證明：（
2013
2014
）2014＜
1
e
，只需證明(
2014
2013
)2014＞e，
兩邊取自然對數(shù)得：2014•ln
2014
2013
＞1，
∴l(xiāng)n（1+
1
2013
）-
1
2013+1
＞0
由（1）知f（x）=ln（1+x）-
x
x+1
在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
而
1
2013
＞0，則f（
1
2013
）＞f（0）=0
令x=
1
2013
得f（
1
2013
）=ln（1+
1
2013
）-
1
2013+1
，
則f（
1
2013
）=ln（1+
1
2013
）-
1
2013+1
＞0，即：（
2013
2014
）2014＜
1
e
…（14分）
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={x||x|＜1}，B={x|log 
1
3
x＜0}，則A∩B是（　�。�
A、∅
B、（-1，1）
C、（0，
1
2
）
D、（0，1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe1-x（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在(0，
1
2
)上無零點，求a最小值；
（3）若對任意給定的x0∈（0，e]，關(guān)于x的方程f（x）=g（x0）在x∈（0，e]恒有兩個不同的實根，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），
c
=（-1，0）．
（1）求向量
b
+
c
的模的最大值；
（2）設(shè)α=
π
3
，且
a
•（
b
+
c
）=
1
2
，求sinβ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+ax2-（2a+3）x+a2（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上有極小值點，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求所有的實數(shù)a，使得f（x）＞0對x∈[-1，1]恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2-（a+2）x+lnx．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值；
（Ⅲ）若對任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下面給出某村委調(diào)查本村各戶收入情況作出的抽樣，閱讀并回答問題：
本村人口：1200人，戶數(shù)300，每戶平均人口數(shù)4人，應(yīng)抽戶數(shù)：30戶，抽樣間隔：
1200
30
=40；
確定隨機(jī)數(shù)字：取一張人民幣，編碼的后兩位數(shù)為02；
確定第一樣本戶：編碼的后兩位數(shù)為02的戶為第一樣本戶；
確定第二樣本戶：02+40=42，42號為第二樣本戶；
…
（1）該村委采用了何種抽樣方法？
（2）抽樣過程中存在哪些問題，并修改．
（3）何處是用簡單隨機(jī)抽樣．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點A（x1，x12）、B（x2，x22）是函數(shù)y=x2的圖象上任意不同兩點，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A、B兩點之間函數(shù)圖象的上方，因此有結(jié)論
x12+x22
2
＞（
x1+x2
2
）2成立．運用類比思想方法可知，若點A（x1，sinx1）、B（x2，sinx2）是函數(shù)y=sinx（x∈（0，π））的圖象上的不同兩點，則類似地有結(jié)論
 
成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x、y滿足約束條件
x≥0
y≥0
x+y≥2
，則z=x+2y的最小值為
 
．

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同步練習(xí)冊答案