Question

已知數列{a_n}（n∈N^*）是首項a₁=1，公差的等差數列，且2a₂，a₁₀，5a₅成等比數列，數列{a_n}前n項和為S_n．
（1） 求數列{a_n}的通項公式；
（2） 若b_n=

1

(n+1)an

，求數列{b_n}前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據2a₂，a₁₀，5a₅成等比數列，求出公差d，即可求出等差數列{a_n}的通項公式，
（2）根據b_n=

1

(n+1)an

，把a_n=n代入，即可把b_n寫成b_n=

1

(n+1)an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，再進行求和即可．

解答：解：（1）依題意可得2a₂=2（1+d），a₁₀=1+9d，5a₅=5（1+4d），
∵2a₂，a₁₀，5a₅成等比數列，
∴（1+9d）²=10（1+d）（1+4d），
又∵公差d＞0，
解得d=1，
∴a_n=n，
（2）∵b_n=

1

(n+1)an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…（

1

n

-

1

n+1

 ）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題主要考查數列求和的知識點，解答本題的關鍵是根據2a₂，a₁₀，5a₅成等比數列求出數列的公差d，本題難度不大．