Question

（1）函數(shù)f（x）=2sinπx與函數(shù)g（x）=

3	x-1

的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為

 

．
（2）已知函數(shù)f（x）=10^x，對(duì)于實(shí)數(shù)m、n、p有f（m+n）=f（m）+f（n），f（m+n+p）=f（m）+f（n）+f（p），則p的最大值等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）和g（x）的圖象特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合得到結(jié)論．
（2）由f（x）=10^x得：f（m+n）=f（m）f（n），依題意，可求得f（m）f（n）=f（m）+f（n），令f（m）f（n）=f（m）+f（n）=t，則f（m）、f（n）是x²-tx+t=0的解，利用△=t²-4t≥0，可求得t的范圍，進(jìn)一步可求得f（p）=

t

t-1

=1+

1

t-1

（t≥4），利用該函數(shù)的單調(diào)性即可求得f（p）的最大值，繼而可得p的最大值．

解答： 解：函數(shù)g（x）=

3	x-1

關(guān)于（1，0）對(duì)稱，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
且函數(shù)f（x）=2sinπx也關(guān)于（1，0）對(duì)稱，
由

3	x-1

=2，解得x-1=8，即x=9，
由

3	x-1

=-2，解得x-1=-8，即x=-7，
∴兩個(gè)函數(shù)f（x）和g（x）共有17個(gè)交點(diǎn)，除（1，0）外，其他16個(gè)交點(diǎn)關(guān)于（1，0）對(duì)稱，
設(shè)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a，b，
則

a+b

2

=1，即a+b=2，
∴函數(shù)f（x）=2sinπx與函數(shù)g（x）=

3	x-1

的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為：
8（a+b）+1=8×2+1=17．
故答案為：17．
（2）由f（x）=10^x得：f（m+n）=f（m）f（n），
∵f（m+n）=f（m）+f（n），
∴f（m）f（n）=f（m）+f（n），
設(shè)f（m）f（n）=f（m）+f（n）=t，
則f（m）、f（n）是x²-tx+t=0的解，
∵△=t²-4t≥0，
∴t≥4或t≤0（舍去）．
又f（m+n+p）=f（m）f（n）f（p）=f（m）+f（n）+f（p），
∴tf（p）=t+f（p），
∴f（p）=

t

t-1

=1+

1

t-1

（t≥4），
顯然t越大，f（p）越小，
∴當(dāng)t=4時(shí)，f（p）取最大值

4

3

，又f（p）=10^p，
∴f（p）取到最大值時(shí)，p也取到最大值，即p_max=lg

4

3

=2lg2-lg3．
故答案為：（1）17；（2）2lg2-lg3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)函數(shù)f（x）和g（x）的圖象的對(duì)稱性，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的作圖分析能力．綜合性較強(qiáng)，難度較大．（2）本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，著重考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得f（m）f（n）=f（m）+f（n）之后，設(shè)f（m）f（n）=f（m）+f（n）=t，構(gòu)造方程，f（m）、f（n）是x²-tx+t=0的解是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查創(chuàng)新思維與綜合分析與運(yùn)算能力，屬于難題．