【題目】某地?cái)M建造一座大型體育館,其設(shè)計(jì)方案?jìng)?cè)面的外輪廓如圖所示,曲線是以點(diǎn)
為圓心的圓的一部分,其中
;曲線
是拋物線
的一部分;
,且
恰好等于圓
的半徑.假定擬建體育館的高
(單位:米,下同).
(1)若,
,求
、
的長(zhǎng)度;
(2)若要求體育館側(cè)面的最大寬度不超過(guò)
米,求
的取值范圍;
(3)若,求
的最大值.
【答案】(1),
;(2)
;(3)
米.
【解析】
(1)由可求出
的長(zhǎng),在拋物線方程中,令
,可求出
的長(zhǎng),在圓
的方程中,令
,可求出
的長(zhǎng),相加即可得出
的長(zhǎng);
(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立,根據(jù)基本不等式解出即可;
(3)先求得,在圓
的方程中,令
,可得出
,從而得出
,令
,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)
在
上的最大值.
法一:令,
,利用三角函數(shù)知識(shí)可求出
的最大值;
法二:令,
,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知
,求
的最大值,利用數(shù)形結(jié)合思想可求出
的最大值.
(1)因?yàn)閳A的半徑為
,所以
米,
在中令
,得
在圓中,令
得
,
所以米;
(2)由圓的半徑為
,得
在中,令
,得
,
由題意知對(duì)
恒成立,所以
恒成立.
當(dāng)時(shí),即當(dāng)
時(shí),
取得最小值
,故
,解得
.
因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是
;
(3)當(dāng)時(shí),
又圓的方程為
,令
,得
,
所以,從而
下求的最大值.
方法一:令,
,
則,
其中是銳角,且
,從而當(dāng)
時(shí),
取得最大值
;
方法二:令,
,則題意相當(dāng)于:已知
,求
的最大值.
當(dāng)直線與圓弧
相切時(shí),直線
在
軸上的截距最大,此時(shí)
取最大值,且有
,
,解得
,
因此,的最大值為
答:當(dāng)米時(shí),
的最大值為
米.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C:(
)的焦距為
,且右焦點(diǎn)F與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)組成一個(gè)正三角形.若直線l與橢圓C交于
、
,且在橢圓C上存在點(diǎn)M,使得:
(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則稱直線l具有性質(zhì)H.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l垂直于x軸,且具有性質(zhì)H,求直線l的方程;
(3)求證:在橢圓C上不存在三個(gè)不同的點(diǎn)P、Q、R,使得直線、
、
都具有性質(zhì)H.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,函數(shù)
.
(1)若,證明:函數(shù)
在區(qū)間
上是單調(diào)增函數(shù);
(2)求函數(shù)在區(qū)間
上的最大值;
(3)若函數(shù)的圖像過(guò)原點(diǎn),且
的導(dǎo)數(shù)
,當(dāng)
時(shí),函數(shù)
過(guò)點(diǎn)
的切線至少有2條,求實(shí)數(shù)
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】李克強(qiáng)總理在很多重大場(chǎng)合都提出“大眾創(chuàng)業(yè),萬(wàn)眾創(chuàng)新”.某創(chuàng)客,白手起家,2015年一月初向銀行貸款十萬(wàn)元做創(chuàng)業(yè)資金,每月獲得的利潤(rùn)是該月初投入資金的.每月月底需要交納房租和所得稅共為該月全部金額(包括本金和利潤(rùn))的
,每月的生活費(fèi)等開(kāi)支為3000元,余款全部投入創(chuàng)業(yè)再經(jīng)營(yíng).如此每月循環(huán)繼續(xù).
(1)問(wèn)到2015年年底(按照12個(gè)月計(jì)算),該創(chuàng)客有余款多少元?(結(jié)果保留至整數(shù)元)
(2)如果銀行貸款的年利率為,問(wèn)該創(chuàng)客一年(12個(gè)月)能否還清銀行貸款?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列四個(gè)命題中,真命題是( )
A.和兩條異面直線都相交的兩條直線是異面直線
B.和兩條異面直線都相交于不同點(diǎn)的兩條直線是異面直線
C.和兩條異面直線都垂直的直線是異面直線的公垂線
D.若、
是異面直線,
、
是異面直線,則
、
是異面直線
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是某商場(chǎng)2018年洗衣機(jī)、電視機(jī)和電冰箱三種電器各季度銷量的百分比堆積圖(例如:第3季度內(nèi),洗衣機(jī)銷量約占,電視機(jī)銷量約占
,電冰箱銷量約占
).根據(jù)該圖,以下結(jié)論中一定正確的是( )
A. 電視機(jī)銷量最大的是第4季度
B. 電冰箱銷量最小的是第4季度
C. 電視機(jī)的全年銷量最大
D. 電冰箱的全年銷量最大
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知直線與拋物線
(
)交于
、
兩點(diǎn),
為坐標(biāo)原點(diǎn),
.
(1)求直線的方程和拋物線
的方程;
(2)若拋物線上一動(dòng)點(diǎn)
從
到
運(yùn)動(dòng)時(shí)(
不與
、
重合),求
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】按照如下規(guī)則構(gòu)造數(shù)表:第一行是:2;第二行是:;即3,5,第三行是:
即4,6,6,8;
(即從第二行起將上一行的數(shù)的每一項(xiàng)各項(xiàng)加1寫(xiě)出,再各項(xiàng)加3寫(xiě)出)
2
3,5
4,6,6,8
5,7,7,9,7,9,9,11
……………………………………
若第行所有的項(xiàng)的和為
.
(1)求;
(2)試求與
的遞推關(guān)系,并據(jù)此求出數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè),求
和
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列.如果數(shù)列
滿足
,
,其中
,則稱
為
的“衍生數(shù)列”.
(Ⅰ)若數(shù)列的“衍生數(shù)列”是
,求
;
(Ⅱ)若為偶數(shù),且
的“衍生數(shù)列”是
,證明:
的“衍生數(shù)列”是
;
(Ⅲ)若為奇數(shù),且
的“衍生數(shù)列”是
,
的“衍生數(shù)列”是
,….依次將數(shù)列
,
,
,…的第
項(xiàng)取出,構(gòu)成數(shù)列
.證明:
是等差數(shù)列.
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