Question

數(shù)列{a_n}（a_n＞0）的首項為1，且前n項和S_n滿足

Sn

-

Sn-1

=1（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=

an

2n

（n=1，2，…），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出數(shù)列{

Sn

}構(gòu)成一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列，從而得到Sn=n2，由此能示出a_n=2n-1．
（2）由bn=

an

2n

=

2n-1

2n

，利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）∵

Sn

-

Sn-1

=1．
∴數(shù)列{

Sn

}構(gòu)成一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴

Sn

=1+(n-1)×1=n，∴Sn=n2，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
當n=1時，a₁=S₁=1，符合上式，
∴a_n=2n-1．…（6分）
（2）∵bn=

an

2n

=

2n-1

2n

，
∴Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，①
①×2得2T_n=1+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

，②
②-①得T_n=1+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

-

2n-1

2n

=2+

1 2 - 1 2n-1

1- 1 2

-

2n-1

2n

=1+

1

2n-2

-

2n-1

2n

．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．