Question

已知函數(shù)．

（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）設(shè)為正實(shí)數(shù)，且，求證：．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，可得，又由為極值點(diǎn)，故，代

入并檢驗(yàn)即可得到，從而切線斜率，切點(diǎn)為，因此切線方程為；

由（1），故在上為單調(diào)增函數(shù)等價(jià)于

在上恒成立，將不等式變形為，從而問題等價(jià)于求使在上恒成立的的取值范圍，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“”成立，即，因此只

需，∴，即的取值范圍是；

（3）要證，只需證，

即證只需證，由（2）中所得，令，則，

由（2）知在上是單調(diào)增函數(shù)，又，因此，即成立，即有.

試題解析：（1）∵，∴

又∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴，代入得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，

從而切線斜率，切點(diǎn)為，∴切線方程為；

（2）由（1），

∵上為單調(diào)增函數(shù)，∴上恒成立，

即在上恒成立，將不等式變形為，即需使在

上恒成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“”成立，因此只需，∴，

∴的取值范圍是；

由（2），令，則，由（2）知在上是單調(diào)增函數(shù)，又∵，∴，∴，

即.

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用；2.恒成立問題的處理方法；3.構(gòu)造函數(shù)證明不等式.