正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面三條對角線AB1、BC1、CA1中,AB1⊥BC1.求證:AB1⊥CA1.
解析:方法1 如圖,延長B1C1到D,使C1D=B1C1.連CD、A1D.因AB1⊥BC1,故AB1⊥CD;又B1C1=A1C1=C1D,故∠B1A1D=90°,于是DA1⊥平面AA1B1B.故AB1⊥平面A1CD,因此AB1⊥A1C. 方法2:如圖,取A1B1、AB的中點D1、P.連CP、C1D1、A1P、D1B,易證C1D1⊥平面AA1B1B.由三垂線定理可得AB1⊥BD1,從而AB1⊥A1D.再由三垂線定理的逆定理即得AB1⊥A1C. 說明:證明本題的關鍵是作輔助面和輔助線,證明線面垂直常采用下列方法: (1)利用線面垂直的定義; (2)證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線; (3)證明直線平行于平面的垂線; (4)證明直線垂直于與這平面平行的另一平面. |
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
3 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
3 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:044
【注意:本題的要求是,參照標①的寫法,在標號②、③、④、⑤的橫線上填寫適當步驟,完成(Ⅰ)證明的全過程;并解答(Ⅱ).】
如圖:在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中,AB==a,E,F分別是BB1,CC1上的點且BE=a,CF=2a.
(Ⅰ)求證:面AEF⊥面ACF;
(Ⅱ)求三棱錐A1-AEF的體積.
(Ⅰ)證明:
①∵ BE=a,CF=2a,BE∥CF,延長FE與CB延長線交于D,連結(jié)AD.
∴ △DBE∽△DCF
∴
②_____________________
∴ DB=AB.
③______________________
∴ DA⊥AC
④_______________________
∴ FA⊥AD
⑤_________________________
∴ 面AEF⊥面ACF.
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科目:高中數(shù)學 來源:數(shù)學教研室 題型:044
【注意:本題的要求是,參照標①的寫法,在標號②、③、④、⑤的橫線上填寫適當步驟,完成(Ⅰ)證明的全過程;并解答(Ⅱ).】
如圖:在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中,AB==a,E,F分別是BB1,CC1上的點且BE=a,CF=2a.
(Ⅰ)求證:面AEF⊥面ACF;
(Ⅱ)求三棱錐A1-AEF的體積.
(Ⅰ)證明:
①∵ BE=a,CF=2a,BE∥CF,延長FE與CB延長線交于D,連結(jié)AD.
∴ △DBE∽△
∴
②_____________________
∴ DB=AB.
③______________________
∴ DA⊥AC
④_______________________
∴ FA⊥AD
⑤_________________________
∴ 面AEF⊥面ACF.
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科目:高中數(shù)學 來源:2009年高考數(shù)學文科(湖南卷) 題型:044
如圖
3,在正三棱柱ABC-A1,B1,C1中,AB=4,AA1=(Ⅰ)證明:平面A1DE⊥平面ACC1A1;
(Ⅱ)求直線AD和平面A1DE所成角的正弦值
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