Question

對于函數(shù)f（x）：如果對任意x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x 1)+f(x2)]，那么稱函數(shù)f（x）是（0，+∞）上的凹函數(shù)．現(xiàn)有函數(shù)：（1）f（x）=x²；（2）f（x）=2^x+1；（3）f（x）=log₂（x+1），以上哪些函數(shù)在（0，+∞）上是凹函數(shù)，請寫出相應的序號

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：對于（1），把f(

x1+x2

2

)，

1

2

[f(x1)+f(x2)]代入f（x）=x²，整理后利用基本不等式得到f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x 1)+f(x2)]，說明函數(shù)f（x）=x²是（0，+∞）上的凹函數(shù)；
對于（2），把f(

x1+x2

2

)，

1

2

[f(x1)+f(x2)]代入f（x）=2^x+1，整理后利用基本不等式得到f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x 1)+f(x2)]，說明函數(shù)f（x）=2^x+1是（0，+∞）上的凹函數(shù)；
對于（3），利用基本不等式結(jié)合對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)得到g（x）不是（0，+∞）上的凹函數(shù)，然后由函數(shù)圖象的平移得答案．

解答： 解：對于（1），f（x）=x²，
f(

x1+x2

2

)=(

x1+x2

2

)2=

1

4

(x12+2x1x2+x22)＜

1

4

(2x12+2x22)=

1

2

(x12+x22)，
而

1

2

[f(x1+x2)]=

1

2

(x12+x22)，
∴f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x 1)+f(x2)]，
函數(shù)f（x）=x²是（0，+∞）上的凹函數(shù)；
對于（2），f（x）=2^x+1，
f(

x1+x2

2

)=2

x1+x2

2

+1=2

x1+x2+2

2

，

1

2

[f(x1+x2)]=

1

2

(2x1+1+2x2+1)＞

1

2

•2

2x1+1•2x2+1

=2

x1+x2+2

2

，
∴f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x 1)+f(x2)]，
函數(shù)f（x）=2^x+1是（0，+∞）上的凹函數(shù)；
對于（3），f（x）=log₂（x+1），
令g（x）=log₂x，
g(

x1+x2

2

)=log2

x1+x2

2

＞log2

x1x2

．

1

2

[g(x1)+g(x2)]=

1

2

(log2x1+log2x2)=

1

2

log2x1x2=log2

x1x2

．
∴g（x）不是（0，+∞）上的凹函數(shù)．
而f（x）=g（x+1），
∴f（x）不是（0，+∞）上的凹函數(shù)．
∴正確命題的序號是（1）（2）．
故答案為：（1）（2）．

點評：本題考查了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，考查了基本不等式的用法，是新定義題，解答的關(guān)鍵是對題意的理解，是中檔題．