已知中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率是
3
2
，橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為4．
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓長軸的左端點(diǎn)為A，P是橢圓上且位于第一象限的任意一點(diǎn)，AB∥OP，點(diǎn)B在橢圓上，R為直線AB與y軸的交點(diǎn)，證明：
AB
•
AR
=2
OP
2．
（1）根據(jù)題設(shè)，可設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)
則離心率e=
c
a
=
3
2
，c2=a2-b2(c＞0)，由橢圓定義，得2a=4
解得a=2，b=1，c=
3

所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：
x2
4
+y2=1
（2）證明：由題意得A（-2，0），設(shè)P（x1，y1），B（x2，y2），R（0，y3），其中x1＞0，y1＞0，
點(diǎn)P和點(diǎn)B都在橢圓上，則有
x21
4
+
y21
=1①
x22
4
+
y22
=1②
由AB∥OP，有kOP=
y1-0
x1-0
=kAB=
y2-0
x2-(-2)
，
即
y1
x1
=
y2
x2+2
③
由x1＞0，y1＞0可知x2≠-2．
AB直線方程為：y-0=kAB[x-（-2）]，即y=
y2
x2+2
(x+2)．
把R（0，y3）代入，得y3=
2y2
x2+2

所以有
AB
=(x2+2，y2)，
OP
=(x2，y2)，
AR
=(2，
2y2
x2+2
)，
可得：
AB
•
AR
=2(x2+2)+
2
y22
x2+2
④
2|
OP
|2=2(
x21
+
y21
)⑤
由①，②，③得：
x21
=x2+2⑥
由①，⑤得：2|
OP
|2=2(
x21
+
y21
)=2+
3
2
x21
⑦
由②，④得：
AB
•
AR
=2(x2+2)+
2
y22
x2+2
=5+
3
2
x2⑧
由⑦，⑥得：2|
OP
|2=2(
x21
+
y21
)=2+
3
2
x21
=5+
3
2
x2⑨
由⑧，⑨可證得：
AB
•
AR
=2
OP
2．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線為mx-y=0，若m在集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任意取一個(gè)值，使得雙曲線的離心率大于3的概率是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•大興區(qū)一模）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的離心率為
3
2
，實(shí)軸長為4，則雙曲線的方程是
x2
4
-
y2
5 
=1
x2
4
-
y2
5 
=1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C，過點(diǎn)P（2，
3
）且離心率為2，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
3
-
y2
9
=1
x2
3
-
y2
9
=1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•合肥模擬）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線的方程為y=
1
2
x，則此雙曲線的離心率為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線的一條漸近線方程為
3
x-y=0，則該雙曲線的離心率為（　　）

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同步練習(xí)冊答案