Question

已知數(shù)列{a_n}是首項為a₁，公差為d（0＜d＜2π）的等差數(shù)列，若數(shù)列{cosa_n}是等比數(shù)列，則其公比為

 

．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義得

cosan+1

cosan

=

cosa2

cosa1

，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式化簡，再由積化和差和和差化積化簡得出sind=0，由公差的范圍求得公差d，再求出公比q的值．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}是首項為a₁，公差為d（0＜d＜2π）的等差數(shù)列，
∴a_n=a₁+（n-1）d，
∵數(shù)列{cosa_n}是等比數(shù)列，
∴

cosan+1

cosan

=

cosa2

cosa1

，即

cos(a1+nd)

cos[a1+(n-1)d]

=

cos(a1+d)

cosa1

①，
∴2cosa₁cos（a₁+nd）=2cos（a₁+d）cos[a₁+（n-1）d]，
積化和差得cos（2a₁+nd）+cosnd=cos（2a₁+nd）+cos（n-2）d，
∴cos（n-2）d-cosnd=0，
和差化積得2sin[（n-1）d]sind=0，對任意的正整數(shù)n都成立，
∴sind=0，0＜d＜2π，則d=π．
由①得，公比q=-1．
故答案為：-1．

點評：本題考查等比數(shù)列的公比的求法，等差數(shù)列的通項公式，解題時要認(rèn)真審題，注意積化和差公式與和差化積公式的靈活運用，是中檔題．