Question

12．若直線ax-y-a+3=0將關(guān)于x，y的不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+5≥0}\\{x+y-1≥0}\\{x-y+1≤0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域分成面積相等的兩部分，則z=4x-ay的最大值是4．

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出直線恒過定點C（1，3），根據(jù)面積相等得到直線過AB的中點，求出a的值，結(jié)合直線斜率的幾何意義進(jìn)行求解即可．

解答 解：由直線ax-y-a+3=0得a（x-1）+（3-y）=0，
即直線恒過C（1，3），x，y的不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+5≥0}\\{x+y-1≥0}\\{x-y+1≤0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域如圖：由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+5=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$解得B（3，4），$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{x-2y+5=0}\end{array}\right.$解得A（-1，2），可得C（1，3）是AB的中點，
若直線ax-y-a+3=0將區(qū)域分成面積相等的兩部分，
直線只需經(jīng)過頂點（0，1），（0，1）代入ax-y-a+3=0，解得a=2．
z=4x-ay=4x-2y，即y=2x-$\frac{z}{2}$，經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的點B時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值．
此時最大值為：4×3-2×4=4．
故答案為：4．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，直線恒過定點以及三角形面積相等的應(yīng)用，直線斜率的計算，綜合性較強(qiáng)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．