Question

設(shè)兩個向量

a

=（λ+2，λ²-cos²α）和

b

=（2m，

m

2

+sinα），其中λ，m，α為實數(shù)，若

a

=2

b

，則

λ

m

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：平面向量的綜合題

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由向量共線知識，得到λ+2=2m且λ²-cos²α=m+2sinα，消去λ，得m的式子，運(yùn)用三角函數(shù)的二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡，再由正弦函數(shù)的值域，解關(guān)于m的不等式，即可得到所求范圍．

解答： 解：

a

=（λ+2，λ²-cos²α）和

b

=（2m，

m

2

+sinα），其中λ，m，α為實數(shù)，若

a

=2

b

，
則λ+2=2m且λ²-cos²α=m+2sinα，
消去λ，得（2m-2）²-m=2sinα+cos²α，
即有4m²-9m+4=2sinα-sin²α+1=-（sinα-1）²+2．
∵-1≤sinα≤1，∴0≤（sinα-1）²≤4，-4≤-（sinα-1）²≤0
∴-2≤2-（sinα-1）²≤2
∴-2≤4m²-9m+4≤2
分別解4m²-9m+4≥-2，與4m²-9m+4≤2得，

1

4

≤m≤2
∴

1

2

≤

1

m

≤4
∴

λ

m

=2-

2

m

，
∴-6≤2-

2

m

≤1
∴

λ

m

的取值范圍是[-6，1]．
故答案為：[-6，1]．

點評：本題考查向量共線和垂直的條件，考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．