Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，討論方程根的情況；

（2）若，，討論方程根的情況.

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)或時，無零點(diǎn)；當(dāng)時，有個零點(diǎn).

(2) ，方程無解 .

【解析】分析：（1）由，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得或，的圖象與軸無交點(diǎn)，再分兩種情況討論的范圍，分別利用導(dǎo)數(shù)求出的最值，結(jié)合函數(shù)圖象列不等式可得結(jié)果；（2），令，

，討論兩種情況，分別利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)最值，結(jié)合函數(shù)圖象與零點(diǎn)存在定理，即可得結(jié)果.

詳解：（1），令.

此時①若，在遞減，，無零點(diǎn)；

②若，在遞增，，無零點(diǎn)；

③若，在遞減，遞增，其中.

Ⅰ.若，則，此時在無零點(diǎn)；

Ⅱ.若，則，此時在有唯一零點(diǎn)；

綜上所述：當(dāng)或時，無零點(diǎn)；當(dāng)時，有個零點(diǎn).

（2），令，

①若，在遞增，，無零點(diǎn)；

②若，在遞增，遞減，遞增.

其中，

顯然

消元：，其中， 令， ，即，無零點(diǎn).

綜上所述：，方程無解 .