Question

下列命題正確的有

 

①已知A，B是橢圓

x2

3

+

y2

4

=1的左右兩個(gè)頂點(diǎn)，P是該橢圓上異于A，B的任一點(diǎn)，則K_AP•K_BP=-

3

4

．
②已知雙曲線x²-

y2

3

=1的左頂點(diǎn)為A₁，右焦點(diǎn)為F₂，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則

PA1

•

PF2

的最小值為-2．
③若拋物線C：x²=4y的焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)Q（2，1）和拋物線內(nèi)一點(diǎn)R（2，m）（m＞1），過點(diǎn)Q作拋物線的切線l₁，直線l₂過點(diǎn)Q且與l₁垂直，則l₂平分∠RQF；
④已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（1）=0，xf′（x）-f（x）＞0（x＞0），則不等式f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,簡(jiǎn)易邏輯

分析：若A，B是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左右兩個(gè)頂點(diǎn)，P是該橢圓上異于A，B的任一點(diǎn)，則K_AP•K_BP=-

b2

a2

，由此可判斷①；設(shè)P（x，y）（x≥1），求出

PA1

•

PF2

的最小值，可判斷②；利用導(dǎo)數(shù)法，求切線l₁的斜率及傾斜角，進(jìn)而可判斷③；構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

x

，根據(jù)已知分析g（x）的單調(diào)性，奇偶性，及在各象限上的符號(hào)，進(jìn)而求解不等式f（x）＞0，可判斷④．

解答： 解：①已知A，B是橢圓

x2

3

+

y2

4

=1的左右兩個(gè)頂點(diǎn)，P是該橢圓上異于A，B的任一點(diǎn)，則K_AP•K_BP=-

4

3

，故①錯(cuò)誤；
設(shè)P（x，y）（x≥1），易得A₁（-1，0），F(xiàn)₂（2，0），

PA1

•

PF2

=（-1-x，y）•（2-x，y）=x²-x-2+y²，
又x²-

y2

3

=1，故y²=3（x²-1），于是

PA1

•

PF2

=4x²-x-5=4（x-

1

8

）²-5-

1

16

，
當(dāng)x=1時(shí)，取到最小值-2，故②正確；
∵拋物線的焦點(diǎn)為F（0，1），又Q（2，1），R（2，m），∴三角形FQR為直角三角形，由x²=4y，得y=

1

4

x²，求導(dǎo)得y′=

1

2

x，
∴切線l₁的斜率為k₁=1，即直線l₁的傾斜角為45°，∵直線l₂過點(diǎn)Q且與l₁垂直，所以l₂一定平分∠RQF．故③正確．
∵xf′（x）-f（x）＞0（x＞0），
設(shè)函數(shù)g（x）=

f(x)

x

，∴g′（x）=

1

x2

[xf′（x）-f（x）]＞0，
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），
∵g（-x）=

f(-x)

-x

=

-f(x)

-x

=g（x），∴g（x）為偶函數(shù)，
∴g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），
∵f（1）=0，∴g（1）=0．g（-1）=0，
∴當(dāng)x＜-1時(shí)，g（x）＞0，f（x）＜0，當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g（x）＜0，f（x）＞0，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）＜0，f（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞0，f（x）＞0
∴不等式f（x）＞0的解集（-1，0）∪（1，+∞）．故④正確；
綜上所述，正確的命題有：②③④，
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體，考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，向量的數(shù)量積，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，解不等式等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．