Question

如圖，在三棱錐D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E為BC的中點，F在棱AC上，且AF=3FC．
（1）求三棱錐D-ABC的表面積；
（2）求證AC⊥平面DEF；
（3）若M為BD的中點，問AC上是否存在一點N，使MN∥平面DEF？若存在，說明點N的位置；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）分別作出三角形的高，求出四個三角形的面積，然后求三棱錐D-ABC的表面積；
（2）要證AC⊥平面DEF，先證AC⊥DE，再證AC⊥EF，即可．
（3）M為BD的中點，連CM，設CM∩DE=O，連OF，只要MN∥OF即可，求出CN．

解答：解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．
∵△BCD是正三角形，且AB=BC=a，∴AD=AC=

2

a．
設G為CD的中點，則CG=

1

2

a，AG=

7

2

a．
∴S△ABC=S△ABD=

1

2

a2，S△BCD=

3

4

a2，S△ACD=

7

4

a2．
三棱錐D-ABC的表面積為S△ACD=

4+ 3 + 7

4

a2．
（2）取AC的中點H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．
∵AF=3FC，∴F為CH的中點．
∵E為BC的中點，∴EF∥BH．則EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．
∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．
（3）存在這樣的點N，
當CN=

3

8

CA時，MN∥平面DEF．
連CM，設CM∩DE=O，連OF．
由條件知，O為△BCD的重心，CO=

2

3

CM．
∴當CF=

2

3

CN時，MN∥OF．∴CN=

3

2

•

1

4

CA=

3

8

CA．

點評：本題考查棱錐的結構特征，證明線面垂直，線面平行，考查邏輯思維能力，是中檔題．