Question

下列說法：
①“?x∈R，使2^x＞3^x”的否定是“?x∈R，使2^x≤3^x”；
②若正數x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值為

28

5

；
③命題“函數f（x）在x=x₀處有極值，則f′（x₀）=0”的否命題是真命題；
④f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，x＞0時的解析式是f（x）=2^x，則x＜0時的解析式為f（x）=-2^-x．
其中正確的說法是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：閱讀型,簡易邏輯

分析：①由含有一個量詞的命題的否定形式，即可判斷；
②運用基本不等式求最值．將x+3y=5xy變形為

1

5y

+

3

5x

=1，則3x+4y=（3x+4y）×（

1

5y

+

3

5x

）將其展開，再運用基本不等式，即可求出最小值；
③先寫出逆命題，再舉反例判斷真假，再根據否命題與逆命題互為等價命題，即可判斷；
④運用奇函數的定義，設x＜0，則-x＞0，運用大于0的解析式，再由f（-x）=-f（x），即可得到小于0的解析式，從而判斷④．

解答： 解：①“?x∈R，使2^x＞3^x”的否定是“?x∈R，使2^x≤3^x”，故①正確；
②若正數x，y滿足x+3y=5xy，則

1

5y

+

3

5x

=1，
∴3x+4y=（3x+4y）×（

1

5y

+

3

5x

）=

9

5

+

4

5

+

3x

5y

+

12y

5x

≥

13

5

+2

3x 5y • 12y 5x

=

13

5

+

12

5

=5，
當且僅當x=1，y=

1

2

時，取最小值5，故②錯；
③命題“若函數f（x）在x=x₀處有極值，則f′（x₀）=0”的逆命題是“若f′（x₀）=0，則函數f（x）在x=x₀處有極值”，這是假命題，例如f（x）=x³，f′（x）=3x²，有f′（0）=0，但x=0不為極值點，又否命題與逆命題等價，故否命題也是假命題，故③錯；
④f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，x＞0時的解析式是f（x）=2^x，令x＜0，則-x＞0，f（-x）=
2-x，又f（-x）=-f（x），則當x＜0時，f（x）=-2-x，故④正確．
故答案為：①④．

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查基本不等式的運用，注意等號成立的條件，考查函數的導數為0是函數具有極值的必要條件，同時考查函數的奇偶性及應用，求函數解析式，是一道基礎題．