Question

已知圓C的方程x²+y²-2ax+（2-4a）y+4a-4=0（a∈R）．
（1）證明對任意實數(shù)a，圓C必過定點；
（2）求圓心C的軌跡方程；
（3）對a∈R，求面積最小的圓C的方程．

Answer 1

（1）證明：分離參數(shù)a，化為x²+y²+2y-4+a（-2x-4y+4）=0，
又，得或，∴對任何實數(shù)a，圓C必過點A（2，0）、．
（2）解：∵D²+E²-4F=4（5a²-8a+5）＞0恒成立，設(shè)C的坐標(biāo)為（x，y），
則圓心C的方程為，消去a，得 2x-y-1=0，∴圓心C的軌跡方程為 2x-y-1=0．
（3）解：面積最小的圓就是以AB為一條直徑的圓，方程是．
分析：（1） 分離參數(shù)a，化為x²+y²+2y-4+a（-2x-4y+4）=0，此圓經(jīng)過的定點就是x²+y²+2y-4=0和（-2x-4y+4）=0的
交點，解方程組求得交點的坐標(biāo)．
（2）設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（x，y），由圓的方程可得 ，消去a，即可得到圓心C的軌跡方程．
（3）面積最小的圓就是以AB為一條直徑的圓，線段AB 的中點是圓心，線段AB 是直徑．
點評：本題考查圓過定點問題，點的軌跡方程的求法，以及經(jīng)過A、B兩點的面積最小的圓方程的求法．