【題目】已知函數(shù).
(1)若恒成立,求
在
處的切線方程;
(2)若有且只有兩個(gè)整數(shù)解,求
的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)由恒成立可知
即
,即可得到
在
處的切線方程;
(2)可化簡為
.對(duì)a分類討論,當(dāng)
時(shí),顯然不適合,當(dāng)
時(shí),原不等式可化為
,數(shù)形結(jié)合分析可得結(jié)果.
(1)∵,∴
.
∵恒成立,∴
,∴
.
當(dāng)時(shí),
,∴
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,
∴恒成立,∴
符合題意.
∴,
,故
,
,
∴在
處的切線方程為
,即
.
(2)∵,化簡即
.
(i)當(dāng)時(shí),
時(shí),
,∴
恒成立,
此時(shí)有無數(shù)個(gè)整數(shù)解,不合題意;
(ii)當(dāng)時(shí),原不等式可化為
,令
.
∴,令
,∴
,∴
在
上單調(diào)遞增.
又,
,∴存在唯一
使得
.
∴在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,且
.
又,
,
,
,
∴當(dāng)原不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解時(shí),,
即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線與
軸交于點(diǎn)
,直線
與拋物線
交于點(diǎn)
,
兩點(diǎn).直線
,
分別交橢圓
于點(diǎn)
、
(
,
與
不重合)
(1)求證:;
(2)若,求直線
的斜率
的值;
(3)若為坐標(biāo)原點(diǎn),直線
交橢圓
于
,
,若
,且
,則
是否為定值?若是,求出定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是圓
上的任意一點(diǎn),
是過點(diǎn)
且與
軸垂直的直線,
是直線
與
軸的交點(diǎn),點(diǎn)
在直線
上,且滿足
.當(dāng)點(diǎn)
在圓
上運(yùn)動(dòng)時(shí),記點(diǎn)
的軌跡為曲線
.
(1)求曲線的方程;
(2)已知點(diǎn),過
的直線
交曲線
于
兩點(diǎn),交直線
于點(diǎn)
.判定直線
的斜率是否依次構(gòu)成等差數(shù)列?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年春節(jié)期間,我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費(fèi)政策”.某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況,在某高速收費(fèi)點(diǎn)處記錄了大年初三上午9:20~10:40這一時(shí)間段內(nèi)通過的車輛數(shù),統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)共有600輛車通過該收費(fèi)點(diǎn),它們通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的頻率分布直方圖如圖所示,其中時(shí)間段9:20~9:40記作區(qū)間,9:40~10:00記作
,10:00~10:20記作
,10:20~10:40記作
.比方:10點(diǎn)04分,記作時(shí)刻64.
(1)估計(jì)這600輛車在9:20~10:40時(shí)間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);
(2)為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛,再從這10輛車中隨機(jī)抽取4輛,記為9:20~10:00之間通過的車輛數(shù),求
的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(3)由大數(shù)據(jù)分析可知,車輛在春節(jié)期間每天通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻服從正態(tài)分布
,其中
可用這600輛車在9:20~10:40之間通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替,
可用樣本的方差近似代替(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表),已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費(fèi)點(diǎn),估計(jì)在9:46~10:40之間通過的車輛數(shù)(結(jié)果保留到整數(shù)).
參考數(shù)據(jù):若,則
,
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)說偉大的阿基米德逝世后,敵軍將領(lǐng)馬塞拉斯給他建了一塊墓碑,在墓碑上刻了一個(gè)如圖所示的圖案,圖案中球的直徑、圓柱底面的直徑和圓柱的高相等,圓錐的頂點(diǎn)為圓柱上底面的圓心,圓錐的底面是圓柱的下底面.
(1)試計(jì)算出圖案中球與圓柱的體積比;
(2)假設(shè)球半徑.試計(jì)算出圖案中圓錐的體積和表面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓的左焦點(diǎn)為
,過點(diǎn)F做x軸的垂線交橢圓于A,B兩點(diǎn),且
.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(2)若M,N為橢圓上異于點(diǎn)A的兩點(diǎn),且直線的傾斜角互補(bǔ),問直線MN的斜率是否為定值?若是,求出這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某輪船公司年初以200萬元購進(jìn)一艘輪船,以每年40萬元的價(jià)格出租給海運(yùn)公司.輪船公司負(fù)責(zé)輪船的維護(hù),第一年維護(hù)費(fèi)為4萬元,隨著輪船的使用與磨損,以后每年的維護(hù)費(fèi)比上一年多2萬元,同時(shí)該輪船第年末可以以
萬元的價(jià)格出售.
(1)寫出輪船公司到第年末所得總利潤
萬元關(guān)于
的函數(shù)解析式,并求
的最大值;
(2)為使輪船公司年平均利潤最大,輪船公司應(yīng)在第幾年末出售輪船?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面立角坐標(biāo)系中,過點(diǎn)
的圓的圓心
在
軸上,且與過原點(diǎn)傾斜角為
的直線
相切.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點(diǎn)在直線
上,過點(diǎn)
作圓
的切線
、
,切點(diǎn)分別為
、
,求經(jīng)過
、
、
、
四點(diǎn)的圓所過的定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)相互垂直的直線,
分別過橢圓
的左、右焦點(diǎn)
,
,且與橢圓
的交點(diǎn)分別為
、
和
、
.
(1)當(dāng)的傾斜角為
時(shí),求以
為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)問是否存在常數(shù),使得
恒成立?若存在,求
的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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