Question

已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)Q（1，）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點(diǎn)M（2，0）的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)在直線x+y-1=0上，且滿足 （O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)t的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，由e=，設(shè)橢圓方程為，由在橢圓上，能求出橢圓方程．
（2）設(shè)AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），由，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，由△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）≥0，知k∈，由此入手能夠求出實(shí)數(shù)t的最小值．
解答：解：（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，
∵e=，∴a²=2c²，b²=c²，
設(shè)橢圓方程為，
∵在橢圓上，
∴，解得c²=1，
∴橢圓方程為．
（2）由題意知直線AB的斜率存在，
設(shè)AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）≥0，
，
即k∈，
，
∵，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
當(dāng)k=0時(shí)，t=0；
當(dāng)t≠0時(shí)，
，
=，
∵點(diǎn)P在直線x+y-1=0上，
∴，
∴t=．
∵k∈，
∴令h==≤．
當(dāng)且僅當(dāng)k=時(shí)取等號．
故實(shí)數(shù)t的最小值為4-4h=．
點(diǎn)評：本題考查橢圓與直線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．