Question

已知P（3，5）為圓x²+y²=10y內(nèi)一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P的弦長(zhǎng)的范圍是

[8，10]

．

Answer 1

分析：將圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，算出圓心為C（0，5），半徑r=5．根據(jù)圓的性質(zhì)可得經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與CP垂直的弦長(zhǎng)最短，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的圓的直徑為最長(zhǎng)的弦．由此利用兩點(diǎn)間的距離公式與垂徑定理加以計(jì)算，可得弦長(zhǎng)的取值范圍．

解答：解：將圓x²+y²=10y化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得x²+（y-5）²=25．
∴圓心為C（0，5），半徑r=5．
由兩點(diǎn)的距離公式，算出P、C兩點(diǎn)的距離為|PC|=

(0-3)2+(5-5)2

=3．
由圓的性質(zhì)，可得當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的弦與CP垂直時(shí)，截得的弦長(zhǎng)最短，
設(shè)最短的弦長(zhǎng)為l，
根據(jù)垂徑定理得l=2

r2-|PC|2

=2

25-9

=8，
又∵過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)的弦是直徑，得最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為2r=10，
∴過(guò)點(diǎn)P的弦長(zhǎng)的取值范圍是[8，10]．
故答案為：[8，10]

點(diǎn)評(píng)：本題給出點(diǎn)P為圓內(nèi)部一個(gè)定點(diǎn)，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)被圓截得弦長(zhǎng)的取值范圍．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的性質(zhì)、直線(xiàn)與圓和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．