Question

若函數(shù)f（x）=（a-3）x-ax³在區(qū)間[-1，1]上的最小值等于-3，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、（-2，+∞）
• B、[-

  3

  2

  ，12]
• C、[-

  3

  2

  ，13)
• D、（-2，12]

Answer 1

分析：由函數(shù)f（x）=（a-3）x-ax³在區(qū)間[-1，1]上的最小值等于-3，由函數(shù)解析式先求其導函數(shù)，進而可判斷函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最小值，即可

解答：解：由函數(shù)f（x）=（a-3）x-ax³ 求導函數(shù)為：f^′（x）=-3ax²+（a-3），
①當a=0時，f（x）=-3x，此時函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值為：f（1）=-3，符合題意，
所以a=0符合題意；
②當a≠0時，f^‘（x）=0，即 3ax²=a-3  
（I）當0＜a≤3時，f^′（x）=-3ax²+（a-3）為開口向下的二次函數(shù)，且△=12a（a-3）≤0，f^‘（x）≤0恒成立
所以函數(shù)f（x）在定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，函數(shù)的最小值為f（1）=-3，此時符合題意；
（II）當a＜0或a＞3時，f^′（x）=0，即 3ax²=a-3  
 解得：x=

a-3 3a

或x=-

a-3 3a

，
①當-

a-3 3a

≥-1  且

a-3 3a

≤1，即a≤-

3

2

時，
函數(shù)f（x）在[-1，-

a-3 3a

]上單調(diào)遞增，在[-

a-3 3a ，

a-3 3a ]

上單調(diào)遞減，在[

a-3 3a

.1]上單調(diào)遞增，
所以此時函數(shù)在定義域的最小值為f（-1）=-3或f（-

a-3 3a

）=

a-3 3a

(2-

2a

3

)   令f(-

a-3 3a )

＞-3  
解得：a∈φ
  ② 當-

a-3 3a

＜-1 且

a-3 3a

＞1，
即-

3

2

≤a≤12時，函數(shù)在定義域上始終單調(diào)遞減，則函數(shù)在定義域上的最小值為f（1）=-3，符合題意．
綜上所述：當即-

3

2

≤ a≤12 時符合題意．
故選B

點評：此題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，還考查了學生在函數(shù)字母的不等式分類討論思想及學生的計算能力．