【題目】橢圓： 的離心率為，短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)圍成的三角形面積為.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且過點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△為直角三角形，求直線的斜率.

【答案】(1)；(2)和.

【解析】

(1)利用題中所給面積及離心率列出方程組求解a,b,c，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)根據(jù)題意設(shè)出直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于x的二次方程，由韋達(dá)定理表示出,①當(dāng)為直角時(shí)，由列出方程即可求得k；②當(dāng)或為直角時(shí)，不妨設(shè)為直角，由及列出方程組求點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而求出直線的斜率k.

(1)根據(jù)題意可得，

所以橢圓方程為；

(2)根據(jù)題意，過點(diǎn)滿足題意得直線斜率存在，設(shè)，

聯(lián)立，消去y得：，

，令，解得，

，

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

①當(dāng)為直角時(shí)，，即，

所以，

則，解得；

②當(dāng)或為直角時(shí)，不妨設(shè)為直角，

此時(shí)，，則，①，

又②，將①代入②可得，

解得或(舍去)，

將代入①，得，所以，

經(jīng)檢驗(yàn)，所求k值均與題意相符，綜上，k的值為和.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了進(jìn)一步推動(dòng)全市學(xué)習(xí)型黨組織、學(xué)習(xí)型社會(huì)建設(shè)，某市組織開展“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”知識(shí)測(cè)試，每人測(cè)試文化、經(jīng)濟(jì)兩個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目滿分均為60分.從全體測(cè)試人員中隨機(jī)抽取了100人，分別統(tǒng)計(jì)他們文化、經(jīng)濟(jì)兩個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試成績(jī)，得到文化項(xiàng)目測(cè)試成績(jī)的頻數(shù)分布表和經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目測(cè)試成績(jī)的頻率分布直方圖如下：

經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目測(cè)試成績(jī)頻率分布直方圖

分?jǐn)?shù)區(qū)間

頻數(shù)

2

3

5

15

40

35

文化項(xiàng)目測(cè)試成績(jī)頻數(shù)分布表

將測(cè)試人員的成績(jī)劃分為三個(gè)等級(jí)如下：分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)為一般，分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)為良好，分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)為優(yōu)秀.

（1）在抽取的100人中，經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目等級(jí)為優(yōu)秀的測(cè)試人員中女生有14人，經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目等級(jí)為一般或良好的測(cè)試人員中女生有34人.填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有以上的把握認(rèn)為“經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目等級(jí)為優(yōu)秀”與性別有關(guān)？

優(yōu)秀

一般或良好

合計(jì)

男生數(shù)

女生數(shù)

合計(jì)

（2）用這100人的樣本估計(jì)總體.

（i）求該市文化項(xiàng)目測(cè)試成績(jī)中位數(shù)的估計(jì)值.

（ii）對(duì)該市文化項(xiàng)目、經(jīng)濟(jì)項(xiàng)目的學(xué)習(xí)成績(jī)進(jìn)行評(píng)價(jià).

附：

0.150

0.050

0.010

2.072

3.841

6.635

.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，某海面上有、、三個(gè)小島（面積大小忽略不計(jì)），島在島的北偏東方向距島千米處，島在島的正東方向距島20千米處.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的正東方向?yàn)?/span>軸的正方向，1千米為單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系.圓經(jīng)過、、三點(diǎn).

（1）求圓的方程；

（2）若圓區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在島的南偏西30°方向距島40千米處，正沿著北偏東行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險(xiǎn)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知的面積為,且滿足，則邊的最小值為_______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)和，記過點(diǎn)，的直線的斜率為k，問：是否存在m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某品牌服裝店為了慶祝開業(yè)兩周年，特舉辦“你敢買，我就送”的回饋活動(dòng)，規(guī)定店慶當(dāng)日進(jìn)店購買指定服裝的消費(fèi)者可參加游戲，贏取獎(jiǎng)金，游戲分為以下兩種：

游戲 1：參加該游戲贏取獎(jiǎng)金的成功率為，成功后可獲得元獎(jiǎng)金；

游戲 2：參加該游戲贏取獎(jiǎng)金的成功率為，成功后可得元獎(jiǎng)金；

無論參與哪種游戲，未成功均沒有收獲，每人有且僅有一次機(jī)會(huì)，且每次游戲成功與否均互不影響，游戲結(jié)束后可到收銀臺(tái)領(lǐng)取獎(jiǎng)金。

（Ⅰ）已知甲參加游戲 1，乙參加游戲 2，記甲與乙獲得的總獎(jiǎng)金為，若，求的值；

（Ⅱ）若甲、乙、丙三人都選擇游戲 1或都選擇游戲 2，問：他們選擇何種規(guī)則，累計(jì)得到獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望值最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】教材曾有介紹：圓上的點(diǎn)處的切線方程為。我們將其結(jié)論推廣：橢圓上的點(diǎn)處的切線方程為，在解本題時(shí)可以直接應(yīng)用。已知，直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）求的值；

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過橢圓上的兩點(diǎn)、分別作該橢圓的兩條切線、，且與交于點(diǎn)。當(dāng)變化時(shí)，求面積的最大值；

（3）在（2）的條件下，經(jīng)過點(diǎn)作直線與該橢圓交于、兩點(diǎn)，在線段上存在點(diǎn)，使成立，試問：點(diǎn)是否在直線上，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過焦點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，設(shè)的角平分線交橢圓的長(zhǎng)軸于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，平面上定點(diǎn)到定直線的距離，為該平面上的動(dòng)點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為，且；

（1）試建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)的直線交軌跡于、兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，已知，，求證：為定值.

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