Question

若數(shù)列{a_n}中a₁=2，點（a_n，a_n+1）（n∈N^*）都分布在函數(shù)g（x）=

3	2x

的圖象上，若有函數(shù)f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a_n），當n=7時，則f′（0）=（　�。�

A、2⁷

B、-2⁷

C、4⁷

D、-4⁷

Answer 1

分析：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義得f′（0）=（-1）ⁿa₁a₂…a_n．又數(shù)列{a_n}中a₁=2，點（a_n，a_n+1）（n∈N^*）都分布在函數(shù)g（x）=

3	2

x的圖象上，a_n+1=

3	2

a_n，從而{a_n}是等比數(shù)列，求出其通項公式，最后即可求出f′（0）=（-1）ⁿa₁a₂…a_n的值．

解答：解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義得
f′（0）=

lim

△x→0

f(0+△x)-f (0)

△x

=

lim

△x→0

△x(△x-a1)(△x-a2)…(△x-an)

△x

=（-1）ⁿa₁a₂…a_n．
又數(shù)列{a_n}中a₁=2，點（a_n，a_n+1）（n∈N^*）都分布在函數(shù)g（x）=

3	2

x的圖象上，
∴a_n+1=

3	2

a_n，故{a_n}是等比數(shù)列，
∴a_n=2×2 

1

3

(n-1)=2 

1

3

n+

2

3

，
∴f′（0）=（-1）ⁿa₁a₂…a_n
=（-1）ⁿ×2×2 

1

3

×2+

2

3

×2 

1

3

×3+

2

3

×…×2 

1

3

n+

2

3

=（-1）ⁿ×2 

n(n+5)

6

，
當n=7時，則f′（0）=-4⁷
故選D．

點評：本題主要考查了數(shù)列遞推式，導(dǎo)數(shù)的定義，考查了等比數(shù)列和等差數(shù)列，屬于中檔題．