Question

已知函數(shù)f（x）=（2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1）²-x（a＞0）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=0處取極值，求a的值；
（2）如圖，設直線x=-，y=-x將坐標平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個區(qū)域（不含邊界），若函數(shù)y=f（x）的圖象恰好位于其中一個區(qū)域內(nèi)，判斷其所在的區(qū)域并求對應的a的取值范圍；
（3）比較3²×4³×5⁴×…×2012²⁰¹¹與2³×3⁴×4⁵×…×2011²⁰¹²的大小，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=（2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1）²-x，
∴f′（x）=2ln（2x+1）-4a（2x+1）+1，
∵f（x）在x=0處取極值，
∴f′（0）=-4a+1=0，
∴a=，經(jīng)檢驗a=符合題意，
故a=．
（2）∵函數(shù)的定義域為（-，+∞），且當x=0時，f（0）=-a＜0，
又直線y=-x恰好過原點，
所以函數(shù)y=f（x）的圖象應位于區(qū)域Ⅲ內(nèi)，
于是f（x）＜-x，
即 （2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1）²-x＜-x，
∵2x+1＞0，∴a＞，
令h（x）=，∴h′（x）=，
令h′（x）=0，得x=，
∵x＞-，∴x∈（-，）時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
x∈（，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減．
∴m_max（x）=m（）=，
∴a的取值范圍是：a＞．
（3）由（2）知，函數(shù)m（x）=在x∈（，+∞）時單調(diào)遞減，
∴函數(shù)p（x）=在x∈（e，+∞）時，單調(diào)遞減，
∴＜，∴xln（x+1）＜（x+1）lnx，
∴l(xiāng)n（x+1）^x＜lnx^（x+1），即（x+1）^x＜x^（x+1），
∴令x=3，4，…，2011，則4³＜3⁴，5⁴＜4⁵，…，2012²⁰¹¹＜2011²⁰¹²．
又3²×4³＜2³×3⁴，
∴3²×4³×5⁴×…×2012²⁰¹¹＜2³×3⁴×4⁵×…×2011²⁰¹²．
分析：（1）由f（x）=（2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1）²-x得f′（x）=2ln（2x+1）-4a（2x+1）+1，由f（x）在x=0處取極值，能求出a．
（2）由函數(shù)的定義域為（-，+∞），且當x=0時，f（0）=-a＜0，又直線y=-x恰好過原點，所以函數(shù)y=f（x）的圖象應位于區(qū)域Ⅲ內(nèi)，于是f（x）＜-x，由此能求出a的取值范圍．
（3）由（2）知，函數(shù)m（x）=在x∈（，+∞）時單調(diào)遞減，函數(shù)p（x）=在x∈（e，+∞）時，單調(diào)遞減，故 （x+1）^x＜x^（x+1），由此能比較3²×4³×5⁴×…×2012²⁰¹¹與2³×3⁴×4⁵×…×2011²⁰¹²的大�。�
點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應用，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．