Question

設(shè)有一顆彗星沿一橢圓軌道繞地球運(yùn)行，地球恰好位于橢圓軌道的焦點(diǎn)處，當(dāng)此彗星離地球相距m萬(wàn)千米和m萬(wàn)千米時(shí)，經(jīng)過(guò)地球和彗星的直線與橢圓的長(zhǎng)軸夾角分別為和,求該彗星與地球的最近距離.

Answer 1

剖析：本題的實(shí)際意義是求橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，一般的思路：由直線與橢圓的關(guān)系，列方程組解之；或利用定義法抓住橢圓的第二定義求解.同時(shí)，還要注意結(jié)合橢圓的幾何意義進(jìn)行思考.仔細(xì)分析題意，由橢圓的幾何意義可知：只有當(dāng)該彗星運(yùn)行到橢圓的較近頂點(diǎn)處時(shí)，彗星與地球的距離才達(dá)到最小值即為a-c，這樣把問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求a、c或a-c.

解：建立如下圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)地球位于焦點(diǎn)F（-c,0）處，橢圓的方程為+=1,

    當(dāng)過(guò)地球和彗星的直線與橢圓的長(zhǎng)軸夾角為π3時(shí)，由橢圓的幾何意義可知，彗星A只能滿足∠xFA=(或∠xFA′=).

    作AB⊥Ox于B，則｜FB｜=｜FA｜=m,

    故由橢圓的第二定義可得

   

    兩式相減得m=·m,∴a=2c.

    代入①,得m=(4c-c)=c,

    ∴c=m.

    ∴a-c=c=m.

     答:彗星與地球的最近距離為m萬(wàn)千米.

講評(píng)：(1)在天體運(yùn)行中，彗星繞恒星運(yùn)行的軌道一般都是橢圓,而恒星正是它的一個(gè)焦點(diǎn)，該橢圓的兩個(gè)端點(diǎn)，一個(gè)是近地點(diǎn),另一個(gè)則是遠(yuǎn)地點(diǎn)，這兩點(diǎn)到恒星的距離一個(gè)是a-c,另一個(gè)是a+c.

    (2)以上給出的解答是建立在橢圓的概念和幾何意義之上的，以數(shù)學(xué)概念為根基充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.另外，數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的解決在數(shù)學(xué)化的過(guò)程中也要時(shí)刻不忘審題，善于挖掘隱含條件，有意識(shí)地訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維品質(zhì).