Question

已知內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角線互相垂直,求證:圓心到一邊的距離等于這條邊所對(duì)邊長(zhǎng)的一半.

Answer 1

見證明

解析:

證明: 如下圖所示,選擇互相垂直的兩條對(duì)角線所在的直線為坐標(biāo)軸.本題關(guān)鍵是求出圓心O′的坐標(biāo).過O′作AC的垂線,垂足為M,M是AC的中點(diǎn),垂足M的橫坐標(biāo)與O′的橫坐標(biāo)一致.同理可求出O′的縱坐標(biāo).

如上圖所示,以四邊形ABCD互相垂直的對(duì)角線CA、DB所在直線分別為x軸、y軸,建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).

過四邊形ABCD外接圓的圓心O′分別作AC、BD、AD的垂線,垂足分別為M、N、E,則M、N、E分別是線段AC、BD、AD的中點(diǎn),由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得

x=x_M=,y=y_N=,x_E=,y_E=.

所以|O′E|==.

又|BC|=,

所以|O′E|=|BC|.