Question

如圖，已知正四棱柱，點(diǎn)在棱上，截面

∥，且面與底面所成的角為

Ⅰ.求截面的面積；

Ⅱ.求異面直線與AC之間的距離；

Ⅲ.求三棱錐的體積.

 

Answer 1

答案：
解析：

Ⅰ.如圖，連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO 因?yàn)榈酌?i>ABCD是正方形， 所以DO⊥AC 又因?yàn)?i>ED⊥底面AC， 因?yàn)?i>EO⊥AC 所以∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角. 所以 故 II.由題設(shè)是正四棱柱，得⊥底面AC，⊥AC， 又⊥ 所以是異面直線與AC間的公垂線. 因?yàn)?img align="absmiddle" width=35 height=23 src="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/6060/0026/0011/4004cd6e51c86e5f6271baf134dd2f50/C/image021.gif" v:shapes="_x0000_i1038">∥面EAC，且面與面EAC交線為EO 所以∥EO   又O是DB的中點(diǎn)， 所以E是的中點(diǎn)，=2EO =2 所以 異面直線與AC間的距離為 Ⅲ. 解法一：如圖，連結(jié) 因?yàn)?img align="absmiddle" width=37 height=25 src="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/6060/0026/0011/4004cd6e51c86e5f6271baf134dd2f50/C/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1098">=DB= 所以是正方形， 連結(jié)交于P，交EO于Q 因?yàn)?img align="absmiddle" width=36 height=25 src="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/6060/0026/0011/4004cd6e51c86e5f6271baf134dd2f50/C/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1103">⊥，EO∥， 所以⊥EO 又AC⊥EO，AC⊥ED 所以AC⊥面， 所以⊥AC， 所以⊥面EAC. 所以是三棱錐的高. 由DQ=PQ，得 所以 所以三棱錐的體積是 解法二：連結(jié)，則 因?yàn)?i>AO⊥面， 所以AO是三棱錐的高，AO 在正方形中，E、O分別是、DB的中 點(diǎn)（如圖）， 則 ∴ 所以三棱錐的體積是