Question

已知函數F（x）=ax-lnx（a＞0）
（1）若曲線y=f（x）在點（l，f（l））處的切線方程為y=2x+b，求a，b的值；
（2）若當x∈[l，e]時，函數f（x）的最小值是4，求函數f（x）在該區(qū)間上的最大值．

Answer 1

解：（1）求導函數，可得f′（x）=a-（x＞0）…（1分）
由f′（1）=a-1=2，∴a=3…（2分）
∴f（1）=3…（3分）
∴b=f（1）-2×1=1…（4分）
（2）定義域為（0，+∞），f′（x）=a-=…（5分）
由f′（x）＞0，得x＞，f′（x）＜0，得0＜x＜
∴f（x）在（0，）上單調遞減，在（）單調遞增…（7分）
若，即a≥1時，f（x）在[1，e]單調遞增，∴f（x）_min=f（1）=a=4，此時f（x）_max=f（e）=4e-1…（9分）
若，即0＜a≤時，f（x）在[1，e]單調遞減，∴f（x）_min=f（e）=ae-1=4，∴（不合題意）…（11分）
若，即時，f（x）在（1，）單調遞減，在（，e）單調遞增，∴f（x）_min=f（）=1+lna=4
此時a=e³（不合題意）
綜上知，f（x）_max=4e-1…（13分）
分析：（1）求導函數，利用曲線y=f（x）在點（l，f（l））處的切線方程為y=2x+b，即可求a，b的值；
（2）定義域為（0，+∞），確定f（x）在（0，）上單調遞減，在（）單調遞增，根據當x∈[l，e]時，函數f（x）的最小值是4，利用分類討論，即可求得函數f（x）在該區(qū)間上的最大值．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，考查函數的最值，正確求導，合理分類是關鍵．