Question

下列關(guān)于函數(shù)f（x）=2^x的敘述正確的有

 

（填寫正確命題的序號(hào)）
①函數(shù)f（x）的反函數(shù)是f^-1（x）=log₂x（x＞0）；
②函數(shù)f（x）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是y=

1

2x

；
③?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有f（

x 1+x 2

2

）＞

f(x 1)+f(x 2)

2

；
④f（x）-kx=0無實(shí)根的充分條件是0≤k≤e•ln2．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由y=2^x可得x=log₂y，再由反函數(shù)的定義，即可判斷①；由關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特點(diǎn)，將x，y換為-x，-y，即可判斷②；運(yùn)用作差法，即

f(x 1)+f(x 2)

2

-f（

x 1+x 2

2

），化簡(jiǎn)整理，配方，即可判斷③；討論k=0，k＜0，k＞0，直線與曲線的位置關(guān)系，設(shè)直線與曲線相切時(shí)的切點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列方程解得k，再由充分必要條件的定義即可判斷④．

解答： 解：對(duì)于①，由y=2^x可得x=log₂y，即有函數(shù)f（x）的反函數(shù)是f^-1（x）=log₂x（x＞0），則①正確；
對(duì)于②，函數(shù)f（x）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是y=-2^-x，則②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，

f(x 1)+f(x 2)

2

-f（

x 1+x 2

2

）=

1

2

（2x1+2x2）-2

x1+x2

2

=

1

2

（2

x1

2

-2

x2

2

）²＞0，則有f（

x 1+x 2

2

）＜

f(x 1)+f(x 2)

2

，則③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，f（x）-kx=0無實(shí)根，即有2^x=kx無實(shí)數(shù)解，k=0顯然成立，當(dāng)k＜0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過第二象限，
與y=2^x相交，當(dāng)k＞0時(shí)，設(shè)直線y=kx與y=2^x相切，切點(diǎn)為（m，n），由y=2^x的導(dǎo)數(shù)為y′=2^xln2，
則切線的斜率為2^mln2=k，且n=km，n=2^m，解得k=eln2，則當(dāng)0≤k＜e•ln2時(shí)，方程無實(shí)根，
則④錯(cuò)誤．
故答案為：①．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，主要考查指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)的求法和對(duì)稱性的運(yùn)用，以及指數(shù)函數(shù)的圖象，運(yùn)用作差比較和求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題和易錯(cuò)題．