Question

 （本題滿分12分）某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設第n個圖形包含f(n)個小正方形．

(1)求出，并猜測的表達式；

(2)求證：＋＋＋…＋．

 

Answer 1

【答案】

解： (1)∵ f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴ f(5)＝25＋4×4＝41.

∵ f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，

f(n)＝2n²－2n＋1.                                           

(2)當n≥2時，＝＝，

∴ ＋＋＋…＋

＝1＋

＝1＋＝－.                                    

【解析】本試題主要是考查了數(shù)列的歸納猜想思想的運用，根據(jù)前幾項。來猜想并運用數(shù)學歸納法加以證明。

（1）結(jié)合題目中的 遞推關系式可知前幾項的值，并猜想結(jié)論。

（2）分為兩步驟進行，先證明n取第一個值時成立，再假設n=k時成立，證明n=k+1時也成立即可。

解： (1)∵ f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴ f(5)＝25＋4×4＝41.

∵ f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，

由上式規(guī)律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.  ∴ f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，

f(n－2)－f(n－3)＝4·(n－3)，…

f(2)－f(1)＝4×1，

∴ f(n)－f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＝2(n－1)·n，∴ f(n)＝2n²－2n＋1(n≥2)，

又n＝1時，f(1)也適合f(n)．

∴ f(n)＝2n²－2n＋1.                                            --------6分

(2)當n≥2時，＝＝，

∴ ＋＋＋…＋[來源:Z,xx,k.Com]

＝1＋

＝1＋＝－.                                    ---------------12分