分析 (Ⅰ)證明BE⊥BC,利用BC∥AD,可得BE⊥AD,結(jié)合BE⊥PA,證明BE⊥平面PAD;
(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面PAC、PAD的一個(gè)法向量,即可求二面角C-PA-D的余弦值.
解答 (Ⅰ)證明:∵△ABC與△ACD都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ACD=90°,
∴∠ACB=∠DAC=45°,AC=√2BC,∴BC∥AD,AB=BC=√2,
∵E為PA的中點(diǎn),且AB=PB=√2,∴BE⊥PA,
在△PBC中,PC2=PB2+BC2,∴BC⊥PB.
又∵BC⊥AB,且PB∩AB=B,∴BC⊥平面PAB,
∵BE?平面PAB,∴BE⊥BC,
又∵BC∥AD,∴BE⊥AD,
又∵PA∩AD=A,∴BE⊥平面PAD;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可以BC,AB,BP兩兩垂直,以B為原點(diǎn),BC,AB,BP分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,√2,0),B(0,0,0),C(√2,0,0),P(0,0,√2),則→AC=(√2,−√2,0),→AP=(0,−√2,√2).
設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為→m=(x,y,z),則{→m•→AC=0→m•→AP=0∴{x−y=0y−z=0∴取→m=(1,1,1)
又由(Ⅰ)知BE⊥平面PAD,故→BE=(0,√22,√22)為平面PAD的一個(gè)法向量,
∴cos<→m,→BE>=√2√3=√63,
故二面角C-PA-D的余弦值√63.
點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明,考查面面角,考查向量方法的運(yùn)用,正確求出平面的法向量是關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2017屆湖南長沙長郡中學(xué)高三上周測十二數(shù)學(xué)(理)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知點(diǎn)、是雙曲線:(,)的左、右焦點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在雙曲線的右支上,且滿足,,則雙曲線的離心率的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 1-√22 | B. | 1+√22 | C. | 12 | D. | 32 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 6√5-13 | B. | √5-2 | C. | 12 | D. | 23 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 30.4<40.2<log0.40.5 | B. | 30.4<log0.40.5<40.2 | ||
C. | log0.40.5<30.4<40.2 | D. | log0.40.5<40.2<30.4 |
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