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18.在四棱錐P-ABCD中,△ABC,△ACD都為等腰直角三角形,∠ABC=∠ACD=90°,△PAC是邊長為2的等邊三角形,PB=2,E為PA的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:BE⊥平面PAD;
(Ⅱ)求二面角C-PA-D的余弦值.

分析 (Ⅰ)證明BE⊥BC,利用BC∥AD,可得BE⊥AD,結(jié)合BE⊥PA,證明BE⊥平面PAD;
(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面PAC、PAD的一個(gè)法向量,即可求二面角C-PA-D的余弦值.

解答 (Ⅰ)證明:∵△ABC與△ACD都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ACD=90°,
∴∠ACB=∠DAC=45°,AC=2BC,∴BC∥AD,AB=BC=2
∵E為PA的中點(diǎn),且AB=PB=2,∴BE⊥PA,
在△PBC中,PC2=PB2+BC2,∴BC⊥PB.
又∵BC⊥AB,且PB∩AB=B,∴BC⊥平面PAB,
∵BE?平面PAB,∴BE⊥BC,
又∵BC∥AD,∴BE⊥AD,
又∵PA∩AD=A,∴BE⊥平面PAD;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可以BC,AB,BP兩兩垂直,以B為原點(diǎn),BC,AB,BP分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A020,B(0,0,0),C200P002,則AC=220,AP=022
設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為m=xyz,則{mAC=0mAP=0{xy=0yz=0∴取m=111
又由(Ⅰ)知BE⊥平面PAD,故BE=02222為平面PAD的一個(gè)法向量,
cosmBE=23=63,
故二面角C-PA-D的余弦值63

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明,考查面面角,考查向量方法的運(yùn)用,正確求出平面的法向量是關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A. B.

C. D.

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3.已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=12+fxf2x,則f(0)+f(2017)的最大值為( �。�
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A.65-13B.5-2C.12D.23

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8.三個(gè)數(shù)40.2,30.4,log0.40.5的大小順序是( �。�
A.30.4<40.2<log0.40.5B.30.4log0.40.540.2
C.log0.40.530.440.2D.log0.40.540.230.4

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