如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是棱長為a的正方體，E、F分別為棱AA1與CC1的中點(diǎn)，求四棱錐的A1－EBFD1的體積.

 

答案：
解析：

法一：∵ EB=BF=FD1=D1E==a，

∴ 四棱錐A1－EBFD1的底面是菱形.

連結(jié)A1C1、EF、BD1，則A1C1∥EF.

根據(jù)直線和平面平行的判定定理，A1C1平行于

A1－EBFD1的底面，從而A1C1到底面EBFD1的距離就是A1－EBFD1的高

設(shè)G、H分別是A1C1、EF的中點(diǎn)，連結(jié)D1G、GH，則

FH⊥HG， FH⊥HD1

根據(jù)直線和平面垂直的判定定理，有

FH⊥平面HGD1，

又，四棱錐A1－EBFD1的底面過FH，根據(jù)兩平面垂直的判定定理，有

A1－EBFD1的底面⊥平面HGD1.

作GK⊥HD1于K，根據(jù)兩平面垂直的性質(zhì)定理，有

GK垂直于A1－EBFD1的底面.

∵ 正方體的對角面AA1CC1垂直于底面A1B1C1D1,∴ ∠HGD1=90º.

在Rt△HGD1內(nèi)，GD1=a，HG=a，HD1==a.

∴ a·GK=a·a，從而GK=a.

∴ =·GK

=··EF·BD1·GK

=·a·a·a=a3

解法二 ∵ EB=BF=FD1=D1E==a，

∴ 四菱錐A1－EBFD1的底面是菱形.

連結(jié)EF，則△EFB≌△EFD1.

∵ 三棱錐A1－EFB與三棱錐A1－EFD1等底同高，

∴ .

∴ .

又 ，

∴ ，

∵ CC1∥平面ABB1A1，

∴ 三棱錐F－EBA1的高就是CC1到平面ABB1A1的距離，即棱長a.

又 △EBA1邊EA1上的高為a.

∴ =2···a=a3.

 


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15
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15
（用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果）．

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