Question

已知x∈（0，π），則函數(shù)f(x)=

1+cosx+8sin2 x 2

sinx

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：先化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用基本不等式求最值．

解答：解：f(x)=

1+cosx+8sin2 x 2

sinx

=

2cos2 x 2 +8sin2 x 2

2sin x 2 cos x 2

=

1+4tan2 x 2

tan x 2

=4tan

x

2

+

1

tan x 2

．
∵x∈（0，π），∴

x

2

∈(0，

π

2

)，∴tan

x

2

＞0，
∴4tan

x

2

+

1

tan x 2

≥4，當(dāng)且僅當(dāng)4tan

x

2

=

1

tan x 2

，
即tan

x

2

=

1

2

時(shí)，函數(shù)f(x)=

1+cosx+8sin2 x 2

sinx

的最小值為4．
故答案為：4

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查基本不等式的運(yùn)用，正確化簡(jiǎn)函數(shù)是關(guān)鍵．