Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²+lnx
（1）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；
（2）求證：在區(qū)間[1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=

2

3

x³圖象的下方．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)、極值，計(jì)算端點(diǎn)函數(shù)值，比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值，進(jìn)而求出函數(shù)的最大值、最小值；
（2）構(gòu)造函數(shù)設(shè)F（x）=

1

2

x²+lnx-

2

3

x³，利用導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)F（x）的單調(diào)性為遞減，從而可得F（x）＜F（1）=0可證．

解答：解：（1）由f（x）=

1

2

x²+lnx有f′（x）=x+

1

x

（2分）
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f′（x）＞0
∴f_max（x）=f（e）=

1

2

e²+1，
f_min（x）=f（1）=

1

2

（6分）
（2）設(shè)F（x）=

1

2

x²+lnx-

2

3

x³，
則F′（x）=x+

1

x

-2x²=

(1-x)(1+x+2x 2)

x

當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，
且F（1）=-

1

6

＜0故x∈[1，+∞）時(shí)F（x）＜0
∴

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³，得證（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間，求極值、最值，利用單調(diào)性證明不等式，解（2）的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性．