Question

關(guān)于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0恰有8個(gè)不同的實(shí)根，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將方程根的問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象的問題，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可得結(jié)論．

解答： 解：關(guān)于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k
=0，
可化為（x²-1）²-（x²-1）+k=0，
（x≥1或x≤-1）…（1）
或（x²-1）²+（x²-1）+k=0，
（-1＜x＜1）…（2）
令f（x）=|x²-1|-（x²-1）²，
則由題意可得，函數(shù)f（x）的圖象和
直線y=k有8個(gè)交點(diǎn)．
令t=x²-1≥0，則f（x）=|t|-t²=g（t），顯然函數(shù)g（t）關(guān)于變量t是偶函數(shù)，
當(dāng)t=±

1

2

時(shí)，f（x）=g（t）取得最大值為

1

4

，此時(shí)對(duì)應(yīng)的x值有4個(gè)：±

6

2

、±

2

2

．
顯然，當(dāng)函數(shù)f（x）的圖象和直線y=k有8個(gè)交點(diǎn)時(shí)，0＜k＜

1

4

，
故答案為：(0，

1

4

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了分段函數(shù)，以及函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．