Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC=2，G、F分別是AD、PB的中點(diǎn)．
（I）求證：PA⊥CD；
（II）證明：GF⊥平面PCB；
（III）求二面角A-PB-C的大小．

Answer 1

解：（I）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系則A（2，0，0）B（2，2，0）C（0，2，0）P（0，0，2）F（1，1，1）
=（2，0，-2）=（0，2，0）=0，∴∴PA⊥CD；
（Ⅱ）設(shè)G（1，0，0）則=（0，-1，-1）=（2，0，0）=（0，2，-2）
又∴GF⊥平面PCB；

（Ⅲ）設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n₁=（x，y，z）
又=（0，2，0）=（2，0，-2）
即
令x=1，可得n₁=（1，0，1）
同理可求得平面PBC的一個(gè)法向量為
n₂=（0，-1，-1）
設(shè)二面角A-PB-C的大小為θ
則|cosθ|==，
∵θ為鈍角，∴二面角A-PB-C的大為120°
分析：（I）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用證得PA⊥CD；
（Ⅱ）利用去證GF⊥平面PCB
（Ⅲ）求出平面PAB，平面PCB的一個(gè)法向量，利用兩法向量的夾角間接求二面角A-PB-C的大小
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面、面面位置關(guān)系，二面角求解．借助于空間向量的運(yùn)算，降低了思維難度，增加了解題方法．