Question

某人定制了一批地磚．每塊地磚(如圖1)所示是邊長為0.4米的正方形ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，△CFE、△ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格之比依次為3∶2∶1．若將此種地磚按圖(2)所示的形式鋪設(shè)，能使中間的深色陰影部分成四邊形EFGH．

(1)求證：四邊形EFGH是正方形．

(2)E、F在什么位置時，定制這批地磚所需的材料費用最��？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)圖(2)可以看成是由四塊圖(1)所示的地磚繞點C按順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到，則有CE＝CF，∠ECF＝90°， 　　∴△CFE為等腰直角三角形． 　　同理，可得△CFG，△CGH，△CEH為等腰直角三角形． 　　∴四邊形EFGH是正方形． 　　(2)設(shè)CE＝x，則BE＝0.4－x，每塊地磚的費用為W，設(shè)制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD三種材料的每平方米價格依次為3a、2a、a(元)， 　　W＝x2·3a＋×0.4×(0.4－x)×2a＋[0.16x2×0.4×(0.4－x)]a 　　＝a(x2－0.2x＋0.24) 　�。絘[(x－0.1)2＋0.23](0＜x＜0.4)． 　　由于a＞0，則當(dāng)x＝0.1時，W有最小值，即總費用為最省， 　　即當(dāng)CE＝CF＝0.1米時，總費用最�。�

提示：

(1)由于四塊地磚拼出了四邊形EFGH，只需證明△CFE，△CFG，△CGH，△CEH為等腰直角三角形即可；(2)建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．設(shè)CE＝x，每塊地磚的費用為W，求出函數(shù)W＝f(x)的解析式，轉(zhuǎn)化為討論求函數(shù)的最小值問題．