Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（Ⅰ） 證明：不論m為何值時，直線l和圓C恒有兩個交點；
（Ⅱ） 判斷直線l被圓C截得的弦何時最長、何時最短？并求截得的弦長最短時m的值以及最短長度．

Answer 1

（Ⅰ）證明：直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0可化為m（2x+y-7）+（x+y-4）=0
令，解得，∴直線l恒過定點A（3，1）
∵（3-1）²+（1-2）²=5＜25
∴A在圓內，∴不論m為何值時，直線l和圓C恒有兩個交點；
（Ⅱ）解：直線l被圓C截得的弦長的最長時，直線過圓心，
直線l被圓C截得的弦長的最小時，弦心距最大，此時CA⊥l
∵圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，圓心（1，2），半徑為5
∴CA的斜率為=-，
∴l(xiāng)的斜率為2
∵直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0的斜率為-
∴-=2
∴m=-
∵|CA|==
∴直線l被圓C截得的弦長的最小值為2=4．
分析：（Ⅰ）直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0可化為m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，解方程組，可得直線l恒過定點；
（Ⅱ）直線l被圓C截得的弦長的最長時，直線過圓心；直線l被圓C截得的弦長的最小時，弦心距最大，此時CA⊥l，求出CA的斜率，可得l的斜率，從而可求m的值，求出弦心距，可得直線l被圓C截得的弦長的最小值．
點評：本題考查直線恒過定點，考查弦長的計算，解題的關鍵是掌握圓的特殊性，屬于中檔題．