Question

(07年四川卷文)（12分）如圖，平面平面，，，直線與直線所成的角為60°，又，，．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求多面體的體積．

Answer 1

解析：本題主要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角、棱錐體積等有關(guān)知識(shí)，考查思維能力和空間想象能力、應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力、化歸轉(zhuǎn)化能力和推理運(yùn)算能力．

（Ⅰ）∵平面平面，，平面．

∴平面

又∵平面

∴

（Ⅱ）取的中點(diǎn)，則．連接、．

 

∵平面平面，平面平面，．

∴平面．

∵，∴，從而平面．

作于，連結(jié)，則由三垂線定理知．

從而為二面角的平面角．

∵直線與直線所成的角為60°，

∴ ．

在中，由勾股定理得．

在中，．

在中，．

在中，

故二面角的大小為

（Ⅱ）如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．

 

設(shè)，

有，，．

，

由直線與直線所成的角為60°，得

即，解得．

∴，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則

由，取，得

取平面的一個(gè)法向量為

則

由圖知二面角為銳二面角，

故二面角的大小為．

（Ⅲ）多面體就是四棱錐