Question

已知函數f（x）=lnx-ax²，
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）已知存在正數α、β滿足α≠β，f（α）=f（β）．
①若α、β都屬于區(qū)間[1，3]，且β-α=1，求實數a的取值范圍．
②求證：α+β＞

2 a

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,不等式的證明

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求函數f（x）=lnx-ax²的定義域是（0，+∞），再求導f′（x）=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，討論導數的正負以確定單調性；
（Ⅱ）①討論

2a

2a

在[1，3]間的位置，從而轉化存在屬于區(qū)間[1，3]的α、β，且β-α=1，使f（α）=f（β），從而求解．
②結合函數的圖象可知，α+β＞2

2a

2a

，從而可得α+β＞

2 a

．

解答： 解：（Ⅰ）函數f（x）=lnx-ax²的定義域是（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，
①當a≤0時，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
②當a＞0時，由f′（x）＞0解得，x＜

2a

2a

；
故f（x）在（0，

2a

2a

）單調遞增，在（

2a

2a

，+∞）上單調遞減；

（Ⅱ）①當1＜

2a

2a

≤2，即

1

8

≤a＜

1

2

時，
f（2）≥f（1），
即a≤

ln2

3

，
故

1

8

≤a≤

ln2

3

；
當2＜

2a

2a

＜3，即

1

18

≤a＜

1

8

時，
f（2）≥f（3），
即a≥

ln 3 2

5

，
故

ln 3 2

5

≤a＜

1

8

；
綜上所述，實數a的取值范圍是[

ln 3 2

5

，

ln2

3

]．
②證明：∵f′（x）=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，
∴f（x）在（0，

2a

2a

）單調遞增，在（

2a

2a

，+∞）上單調遞減；
且增長的速度大于減小的速度，
故α+β＞2

2a

2a

，
即α+β＞

2 a

．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題及函數的圖象的應用，屬于難題．