Question

觀察下面等式，歸納出一般結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．
結(jié)論：1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

．

Answer 1

分析：觀察所給等式，注意等式的左邊與右邊的特征，得到猜想，然后利用數(shù)學(xué)歸納法的證明標(biāo)準(zhǔn)，驗(yàn)證n=1時(shí)成立，假設(shè)n=k是成立，證明n=k+1時(shí)等式也成立即可．

解答：解：由于所給的等式的左邊，是非0自然數(shù)的平方和，右邊是

1

6

倍的連續(xù)的兩個(gè)自然數(shù)n，（n+1）與一個(gè)2n+1的積，
所以，猜想：1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

------------------（4分）
證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1²=1，右邊=

1×2×3

6

=1，等式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即：1²+2²+3²+…+k²=

k(k+1)(2k+1)

6

-----------（6分）
那么，當(dāng)  n=k+1時(shí)，1²+2²+3²+…+k²+（k+1）²
=

k(k+1)(2k+1)

6

+(K+1)2
=

k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2

6

=

(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

6

，
就是說，當(dāng) n=k+1時(shí)等式也成立．----------------------（13分）
綜上所述，對任何n∈N₊都成立．----------------------（14分）
故答案為：

n(n+1)(2n+1)

6

．

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，歸納推理推出猜想是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，必須用上假設(shè)．