Question

已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)，）.
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間、最大值；
（Ⅱ）討論關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)。

Answer 1

解法一 （Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

（Ⅱ）當(dāng)即時(shí)，函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)根.
當(dāng)即時(shí)，函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即方程有一個(gè)根.
顯然當(dāng)時(shí)，方程沒有根.

（Ⅰ）
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

（Ⅱ）

通過圖象可對進(jìn)行討論：
當(dāng)即時(shí)，函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)根.
當(dāng)即時(shí)，函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即方程有一個(gè)根.
顯然當(dāng)時(shí)，方程沒有根.
解法二 （Ⅰ），
由，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減
所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，
最大值為
（Ⅱ）令   
（1）當(dāng)時(shí)，，則，
所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015732018510.png" style="vertical-align:middle;" />， 所以
因此在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則，
所以，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015732143626.png" style="vertical-align:middle;" />，，又
所以 所以
因此在上單調(diào)遞減.
綜合（1）（2）可知 當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，即時(shí)，沒有零點(diǎn)，
故關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為0；
當(dāng)，即時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，
故關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為1；
當(dāng)，即時(shí)，
①當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知

要使，只需使，即；
②當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知
；
要使，只需使，即；
所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，故關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為2；
綜上所述：
當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為0；
當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為1；
當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為2.
【考點(diǎn)定位】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值等主干知識，考查了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想的綜合應(yīng)用.第一問的研究為第二問進(jìn)行數(shù)形結(jié)合鋪平了“道路”，使的相對位置關(guān)系更明晰.