Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)積為T(mén)_n，且T_n=2-2a_n（n∈N*）．
（1）求

1

T1

，

1

T2

，

1

T3

，并證明

1

Tn

-

1

Tn-1

=

1

2

(n≥2)；
（2）設(shè)b_n=（1-a_n）（1-a_n+1），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由T_n=a₁•a₂…a_n，T_n=2-2a_n可以求得a₁，a₂，a₃，繼而可求

1

T1

，

1

T2

，

1

T3

，又Tn=2-2an =2-2

Tn

Tn-1

，結(jié)論易證；
（2）由（1）知道，an=

n+1

n+2

，又b_n=（1-a_n）（1-a_n+1），可以求得bn=

1

(n+2)(n+3)

，從而可以求得s_n．

解答：解：（1）令n=1，可得T₁=a₁=2-2a₁，可得a1=

2

3

，即T1=  

2

3

；
令n=2可得T2=2-2a2，即

2

3

a2=2-2a2，解得a2=

3

4

，同理可求a3=

4

5

1

T1

=

3

2

，

1

T2

=2，

1

T3

=

5

2

；
由題意可得：Tn=2-2

Tn

Tn-1

 ?T_n•T_n-1=2T_n-1-2T_n（n≥2），
所以

1

Tn

-

1

Tn-1

=

1

2

(n≥2)；
（2）數(shù)列{

1

Tn

}為等差數(shù)列，

1

Tn

=

n+2

2

，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=

Tn

Tn-1

=

n+1

n+2

，，當(dāng)n=1時(shí)，a1=

2

3

也符合，所以an=

n+1

n+2

．
bn=

1

(n+2)(n+3)

=

1

n+2

-

1

n+3

，
∴sn= 

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

(n+2)•(n+3)

=

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n+2

-

1

n+3

=

1

3

-

1

n+3

=

n

3n+9

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列求和，解題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化條件，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列來(lái)解決，求和時(shí)的難點(diǎn)在于裂項(xiàng)法求和，出現(xiàn)正負(fù)項(xiàng)相消，從而問(wèn)題解決．