Question

如圖，E是以AB為直徑的半圓上異于A，B的一點(diǎn)，四邊形ABCD是矩形，且AB=2AD=2，沿AB翻折，使平面ABCD⊥平面ABE，F(xiàn)為平面ECD與半圓弧的另一交點(diǎn)．

（1）求證：平面ADE⊥平面BEC：
（2）求證：EF∥CD．
（3）若EF=1，求三棱錐E-ADF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用平面ABCD⊥平面ABE，CB⊥AB，證明CB⊥平面ABE，再根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得到BE⊥AE．結(jié)合線面垂直的判定定理，得到AE⊥平面BEC，最后利用面面垂直的判定定理，得到平面ADE⊥平面BCE；
（2）先證明CD∥平面ABE，再利用線面平行的性質(zhì)，即可證得結(jié)論；
（3）求出點(diǎn)E到直線AB的距離為3，轉(zhuǎn)換底面，即可求三棱錐E-ADF的體積．

解答： （1）證明：∵平面ABCD⊥平面ABE，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴CB⊥平面ABE，
∴CB⊥AE，
∵BE⊥AE，CB∩BE=B，
∴AE⊥平面BEC，
∵AE?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BEC；
（2）證明：∵CD∥AB，AB?平面ABE，CD?平面ABE，
∴CD∥平面ABE，
∵平面CDE∩平面ABEF=EF，EF?平面ABE，
∴CD∥EF；
（3）∵AB∥EF，AB=2，EF=1
∴點(diǎn)E到直線AB的距離為3，
∴VE-ADF=VD-AEF=

1

3

S△AEF•AD=

3

12

點(diǎn)評：本題考查面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面垂直，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．