Question

已知函數(shù)f（x）滿足：f（m+n）=f（m）f（n），f（1）=3，則

f2(1)+f(2)

f(1)

+

f2(2)+f(4)

f(3)

+

f2(3)+f(6)

f(5)

+…+

f2(n)+f(2n)

f(2n-1)

的值等于

 

．（用含n的式子表示）

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：結(jié)果是一個(gè)數(shù)列求和，應(yīng)從通項(xiàng)入手分析，由f（m+n）=f（m）f（n），f（1）=3，得f（n）=3ⁿ，而

f2(n)+f2(n)

f(n)f(n-1)

=

2f(n)

f(n-1)

=2×3=6，則結(jié)果可求．

解答： 解：因?yàn)閒（m+n）=f（m）f（n），f（1）=3，所以f（2）=f（1+1）=f（1）f（1）=f²（1）=3²，f（3）=f（2+1）=f（2）f（1）=3²×3=3³
…，以此類推得f（n）=3ⁿ，而

f2(n)+f2(n)

f(n)f(n-1)

=

2f(n)

f(n-1)

=2×3=6，所以原式

f2(1)+f(2)

f(1)

+

f2(2)+f(4)

f(3)

+

f2(3)+f(6)

f(5)

+…+

f2(n)+f(2n)

f(2n-1)

=6n．
故答案為6n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的條件下的歸納推理問題，一般是從通項(xiàng)入手加以分析．