精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情
已知函數(shù)f(x)滿足:f(m+n)=f(m)f(n),f(1)=3,則f2(1)+f(2) f(1)
+f2(2)+f(4) f(3)
+f2(3)+f(6) f(5)
+…+f2(n)+f(2n) f(2n-1)
的值等于 .(用含n的式子表示)
考點(diǎn):抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的值
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:結(jié)果是一個(gè)數(shù)列求和,應(yīng)從通項(xiàng)入手分析,由f(m+n)=f(m)f(n),f(1)=3,得f(n)=3n,而f2(n)+f2(n) f(n)f(n-1)
=2f(n) f(n-1)
=2×3=6,則結(jié)果可求.
解答:
解:因?yàn)閒(m+n)=f(m)f(n),f(1)=3,所以f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)=f2(1)=32,f(3)=f(2+1)=f(2)f(1)=32×3=33
…,以此類推得f(n)=3n,而f2(n)+f2(n) f(n)f(n-1)
=2f(n) f(n-1)
=2×3=6,所以原式f2(1)+f(2) f(1)
+f2(2)+f(4) f(3)
+f2(3)+f(6) f(5)
+…+f2(n)+f(2n) f(2n-1)
=6n.
故答案為6n.
點(diǎn)評(píng):本題考查了抽象函數(shù)的條件下的歸納推理問題,一般是從通項(xiàng)入手加以分析.
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