Question

【題目】已知函數有兩個極值點.

（1）求實數的取值范圍；

（2）求證：；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析

【解析】

（1）求導化簡得到，設，畫出函數圖像得到答案.

（2）構造函數，證明函數單調遞增，得到，代入化簡得到答案.

（3）根據題意，，兩式相除得到：，計算，，設，證明，得到答案.

（1），，即，

設，則，

函數在上單調遞增，在上單調遞減，，畫出函數圖像，如圖所示：

根據圖像知.

（2）的兩個根為，構造函數，

則，

當時，；當時，，故函數單調遞增，且.

，即，即，

，，當時，函數單調遞增，

故，即.

（3）根據題意，，兩式相除得到：，

設，，故，解得，，

故，要證，即證，即.

設，則，

設，則，且，故恒成立.

故單調遞減，故恒成立，得證.