Question

已知二次函數(shù)y=f（x）=x²+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)（1，13），且函數(shù)y=f(x-

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)是偶函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象上是否存在這樣的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)是正整數(shù)，縱坐標(biāo)是一個(gè)完全平方數(shù)？如果存在，求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函y=f(x-

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)是偶函數(shù)可求得二次函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸方程，從而可求得b，二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)（1，13），可求c，即可求f（x）的解析式；
（2）如果函數(shù)y=f（x）的圖象上存在符合要求的點(diǎn)，設(shè)為P（m，n²），從而4n²-（2m+1）²=43，由此求得m、n的值，從而得出結(jié)論．

解答： 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x-

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2

)是偶函數(shù)，
所以二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=-

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，故b=1．----------------------（4分）
又因?yàn)槎�次函�?shù)f（x）=x²+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)（1，13），所以1+b+c=13，故c=11．
因此，f（x）的解析式為f（x）=x²+x+11．-------------------------------------（5分）
（2）如果函數(shù)y=f（x）的圖象上存在符合要求的點(diǎn)，設(shè)為P（m，n²），其中m為正整數(shù)，n為自然數(shù)，則m²+m+11=n²，從而4n²-（2m+1）²=43，即[2n+（2m+1）][2n-（2m+1）]=43．------------------（9分）
注意到43是質(zhì)數(shù)，且2n+（2m+1）＞2n-（2m+1），2n+（2m+1）＞0，所
以有

2n+(2m+1)=43 2n-(2m+1)=1

解得

m=10 n=11.

因此，函數(shù)y=f（x）的圖象上存在符合要求的點(diǎn)，它的坐標(biāo)為（10，121）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．