Question

在上海自貿(mào)區(qū)的利好刺激下，A公司開(kāi)拓國(guó)際市場(chǎng)，基本形成了市場(chǎng)規(guī)模；自2014年1月以來(lái)的第n個(gè)月（2014年1月為第一個(gè)月）產(chǎn)品的內(nèi)銷(xiāo)量、出口量和銷(xiāo)售總量（銷(xiāo)售總量=內(nèi)銷(xiāo)量+出口量）分別為b_n、c_n和a_n（單位：萬(wàn)件），依據(jù)銷(xiāo)售統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)形成如下?tīng)I(yíng)銷(xiāo)趨勢(shì)：b_n+1=a•a_n，c_n+1=a_n+ba_n²（其中a，b為常數(shù)，n∈N^*），已知a₁=1萬(wàn)件，a₂=1.5萬(wàn)件，a₃=1.875萬(wàn)件．
（1）求a，b的值，并寫(xiě)出a_n+1與a_n滿(mǎn)足的關(guān)系式；
（2）證明：a_n逐月遞增且控制在2萬(wàn)件內(nèi)；
（3）試求從2014年1月份以來(lái)的第n個(gè)月的銷(xiāo)售總量a_n關(guān)于n的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列與不等式的綜合

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,不等式

分析：（1）依題意：a_n+1=b_n+1+c_n+1=aa_n+a_n+ba_n²，將n取1，2，構(gòu)建方程組，即可求得a，b的值，從而可得a_n+1與a_n滿(mǎn)足的關(guān)系式；
（2）先證明an+1=2an-

1

2

an2=-

1

2

(an-2)2+2≤2，于是a_n＜2，再用作差法證明a_n+1＞a_n，從而可得結(jié)論；
（3）由an+1=2an-

1

2

an2得{log₂（2-a_n）-1}為等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為-1，從而可得結(jié)論．

解答： 解：（1）依題意：an+1=bn+1+cn+1=aan+an+ban2，
∴a2=aa1+a1+ba12，
∴a+1+b=

3

2

…①
又a3=aa2+a2+ba22，
∴

3

2

a+

3

2

+b(

3

2

)2=

15

8

…②
解①②得a=1，b=-

1

2

從而an+1=2an-

1

2

an2
（2）由于an+1=2an-

1

2

an2=-

1

2

(an-2)2+2≤2．
但a_n+1≠2，否則可推得a₁=a₂=2矛盾．
故a_n+1＜2，于是a_n＜2．
又an+1-an=-

1

2

an2+2an-an=-

1

2

an(an-2)＞0，
所以a_n+1＞a_n從而a_n＜a_n+1＜2．
（3）由an+1=2an-

1

2

an2得2(2-an+1)=(2-an)2，
又因?yàn)?-a_n+1＞0，2-a_n＞0，
則log₂（2-a_n+1）=2log₂（2-a_n）-1，
∴l(xiāng)og₂（2-a_n+1）-1=2[log₂（2-a_n）-1]
即{log₂（2-a_n）-1}為等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為-1，
故log2(2-an)-1=-2n-1，
∴an=2-2(

1

2

)2n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的關(guān)系式，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，數(shù)列的函數(shù)特征，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想，邏輯推理能力．