Question

已知函數f（x）=alnx-ax-3（a∈R）
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數f（x）的圖象在點（2，f）處切線的傾斜角為45°，且對于任意的t∈[1，2]，函數在區(qū)間（t，3）上總不為單調函數，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1），
a＞0時，f（x）在（0，1]上單調遞增，在[1，+∞）單調遞減；
a＜0時，f（x）在（0，1]上單調遞減，在[1，+∞）單調遞增；
a=0時，f（x）不是單調函數．
（2）由f′（2）=1得a=-2，所以f（x）=-2lnx+2x-3，則，
故g′（x）=3x²+（m+4）x-2
因為g（x）在（t，3）上總不是單調函數，且g′（0）=-2，
∴．
由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
綜上，．
m的取值范圍為：．
分析：（1）先求導數fˊ（x）然后在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調減區(qū)間．
（2）對函數求導，求出函數的單調區(qū)間，根據函數的單調區(qū)間得到若f（x）在[1，2]上不單調，只要極值點出現在這個區(qū)間就可以，得到對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，從而求m的取值范圍．
點評：本題考查了函數的單調性，利用導數判斷函數的單調性的步驟是：（1）確定函數的定義域；（2）求導數fˊ（x）；（3）在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數的單調區(qū)間．若在函數式中含字母系數，往往要分類討論．