Question

【題目】已知數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和．

（1）若數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）在（2）的條件下，設(shè)，求證：數(shù)列中的任意一項(xiàng)總可以表示成該數(shù)列其他兩項(xiàng)之積．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）詳見(jiàn)解析

【解析】

試題（1）易知，則，代入可得數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）由，則，可證為等差數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可求（3）對(duì)于給定的，若存在，使得，

只需，由此能夠證明數(shù)列中的任意一項(xiàng)總可以表示成其他兩項(xiàng)之積．

試題解析：（1）因?yàn)?/span>，

，

所以．

（2）若，則，∴，

兩式相減得，即，

當(dāng)時(shí)，，

兩式相減得，即，

又由，得，，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3-2=1的等差數(shù)列，

故數(shù)列的通項(xiàng)公式是．

（3）由（2）得，

對(duì)于給定的，若存在，使得，

只需，

即，即，則，

取，則，

∴對(duì)數(shù)列中的任意一項(xiàng)，都存在和使得